资金管理的数学:博弈 vs交易

国政丨盈通财富2018-02-12 08:21:12


我陆续介绍Vince的最佳化比例 (Optimal f)、槓杆空间模型 (Leverage Space Model, LSM)...等较多数学内容的文章,这些模型,无非都在讲一件事:


发展交易策略的本质,就是机率与赔率所衍生的各种变化,决定下注比例 f。

由于之前以介绍过这些理论,现在我们可以把"这件事"说得更清楚点。

博弈的本质:固定机率、固定赔率


博弈本质很简单,以轮盘比大小为例,就是18/37的胜率,1的赔率(输1枚 or 赢1 1= 2枚)。


注意到18/37是因为共有37个数字(0,1~18,19~36)。以机率而言,平均37次会出现18次小,18次大。但这不是绝对,会有误差。根据二项式分配其实误差还不小,只是随着下注次数越来越多,输赢的比率越会接近18/37,这是统计学的大数法则告诉我们的。


然而,胜率18/37并不代表每玩37次就会赢18次。我们可以做个模拟,玩轮盘1000次,每100次计算一次胜率,则某一次模拟的胜率曲线变化如下:



可观察到1000次的轮盘赌局裡,每37笔观察一次胜率,曾经有胜率低到20%以下,也有胜率高达60%以上。


为了方便说明,我们拿铜板赌局为例:假设胜率50%,赔率为2的赌局。这样的赌局就像一个盒子裡装有两颗球,一颗是-1,一颗是 2,而铜板赌局每次的损益都是从这盒子裡抽出这两颗球。


(-1,2)  => 取样

(-1,2)  => 取样

...

(-1,2)  => 取样

(-1,2)  => 取样

我们可以说,(-1,2)就是这个博奕游戏"唯一"的损益分佈,即使实务上胜率的呈现可能有很大的范围变化 (例如上例20%~60%),但机率分佈就是固定的,已轮盘来说固定的损益分佈就是


(18个1,19个-1)  or 写成

(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1)

注意到上面的1和-1的排列顺序无关,盒子裡的球是乱的,所以就是18/37的机率会抽到1,19/37的机率会抽到-1。

也是因为有固定的损益分佈,所以Kelly可以用"固定的"下注比例让资产成长最大化。可惜,这样的手法,在交易上就没这么美妙,而Ralph Vince就试图解决这个问题。


交易策略的损益分佈,存在与否都是个问题!?


对一个交易策略来说,它在某段时间的损益是很多不同的正负数字所组成的,不像赌局只有一个正数跟一个负数。下面是某一个策略的前100笔损益。基本上这样观察很难看出任何规则,更不用说是否存在着损益分佈!?



但Ralph Vince试图这样去分析:


把这个策略最初的100笔损益数字(如上图),看做是100颗球放在一个盒子裡。而这策略未来的损益分佈,就是从这100颗球裡抽取抽来。


如果真是这样,那么就存在最佳下注比例方式,也就是Ralph Vince所发展的Optimal f计算,细节请参考Here!


Ralph Vince的做法已经将Kelly公式更贴近交易的损益分佈,但我想敏锐的读者必定已经察觉,这样的做法只是比赌局的损益更接近交易的损益,与实际还是有段距离。


一个策略的损益分佈,肯定不具有固定的胜率与赔率,也就是整个市场的价格行为会随着时空环境不同而有所改变,连带着影响策略所衍生出的损益分佈。

而这也正是Kelly或是Optimal f下注方法最为人所诟病的地方。一旦拿过去的损益分佈当做未来损益分佈的样本。如果预估正确那很好;如果预估不正确,那Optimal f下注方式往往会造成过大的资金比例下注,而造成一次性的巨大损失。

也正因如此,随后陆续有人提出各种资金管理方法。


1.固定分数法(Fixed Fraction):这也是最基本的管控办法,将每次可容忍的风险比例固定(例如总资金的5%),再除上策略的最大损失去计算每次的交易口数。

2. 固定资金比例(Fixed Ratio)法:Ryan Jone 于1999年提出,有兴趣的读者可参考Trading Game这本书!

3. 安全f值法(Secure Fraction):由 Leo J. Zamansky于1998年所提出,可参考link。

4. 变动比例法:也就是着名的资金管理大师 Van Tharp博士所提出R-multiple概念,其着作Definite Guide to Position Sizing更是Position Sizing必读的经典。

当然,也有人将上述不同的资金管理办法做各种组合,例如结合固定分数与固定比例(link)。


各家的资金管理方法百花争鸣,各有巧妙;就像武林上各家门派,各种武功,互有长短。


但无论如何,都是为了交易策略胜率与赔率的"不确定性" (或着说策略的稳固性) 因应而生。所有的资金管理办法,都在试图降低策略机率与损益的不确定性,拉高策略损益分布的稳固性。


如果交易策略损益分布是稳固的,那数学公式就可最佳化;但通常绩效都不够稳固,所以也有人针对策略绩效指标做研究,例如MAR指数改写成更稳固的4R指数(Robust Risk/Reward Ratio)、或用固定的加码策略看能否拉高风报比去衡量(语亭大最推荐)。


因次我们做个小结论:


如果你对策略的胜率赔率很有把握,例如在某个信心水准之上,那无疑地用Vince's Optimal f方法,会是最好的选择。对赌局来说就是如此,长期下来有"绝对把握"的胜率跟赔率,造就了凯利赌徒(Kelly Trader)。


可是如果你用的交易策略损益分布,不稳固性很大,那你要用更保守的资金管理办法去执行。


即使是Vince本人,也下这样的结论:『如果你想长期交易,就需要使用一种更加谨慎、风险更小的资金管理办法;而如果你只想大赚一笔,使用凯利公式或是最佳化f去执行。』


话说,也正是因为有"不稳固性"这种变数,交易才如此迷人;不然,就只是一个具有正期望值的传统赌局,没啥挑战!!

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